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\title{\textbf{数学物理方法(简明复分析)}}
\author{唐嘉琪}
\date{\today}
\linespread{1.5}
\newtheorem{theorem}{定理}[section]
\newtheorem{definition}[theorem]{定义}
\newtheorem{lemma}[theorem]{引理}
\newtheorem{corollary}[theorem]{推论}
\newtheorem{example}[theorem]{例}
\newtheorem{proposition}[theorem]{命题}
\renewcommand{\abstractname}{\Large\textbf{摘要}}

\begin{document}

\maketitle

\setcounter{page}{0}
\maketitle
\thispagestyle{empty}

\begin{abstract}
    24.1  可微, 解析.
    
    24.2  Cauchy-Riemann 关系, Laplace 方程.
    
    24.3  (复)级数收敛半径.
    
    24.4  常用复级数.
    
    24.5  多值函数与分支.
    
    24.6  奇点.
    
    24.7  共形变换.
    
    24.8  复积分
    
    24.9  Cauchy 定理
    
    24.10  Cauchy 积分公式, 模长估计.
    
    24.11  Taylor级数与Laurent级数.
    
    24.12  残数定理.
    
    24.13  积分技巧.
    \par\textbf{关键词：} 复变函数. 
\end{abstract}

\newpage
\setcounter{page}{1}
\pagenumbering{arabic}

\begin{definition}[可微的]
	一个复变函数$f(z)$在定义域$R$上单值, 称其在点$z$处是可微的(differentiable)\footnote{在验证可微性时因该严格用定义.}\footnote{若验证不可微, 一般是从导数延不同方向的值不同.} , 若下述导数(derivative)存在
	\begin{align*}
		f^\prime(z)=\lim_{\Delta z\to 0}\left[\dfrac{f(z+\Delta z)-f(z)}{\Delta z}\right]
	\end{align*}
\end{definition}

\begin{definition}[解析, 全纯]
	如果复变函数$f$在区域(单连通)$S\subseteq R$ ($R$为其定义域) 上处处可微, 则称其在$S$上解析(或全纯)(analytic).
\end{definition}

\begin{theorem}[Cauchy-Riemann 关系]
	若$f$在区域$S$上解析, 那么$f(x+\mathrm iy)=u(x,y)+\mathrm iv(x,y)$满足\footnote{一种记忆方法是联想如下矩阵$\begin{pmatrix}
		u_x &u_y\\
		v_x &v_y
	\end{pmatrix}$.}\footnote{Cauchy-Riemann 关系往往用来证明函数在某区域上不解析, 用反证法.}
	\begin{align*}
		\dfrac{\partial u}{\partial x}=\dfrac{\partial v}{\partial y},\quad\dfrac{\partial v}{\partial x}=-\dfrac{\partial u}{\partial y}.
	\end{align*}
\end{theorem}

\begin{corollary}
	若$f(x+\mathrm iy)=u(x,y)+\mathrm iv(x,y)$在区域$S$上解析, 那么$u$, $v$均是Laplace 方程的解, 即
	\begin{align*}
		\dfrac{\partial^2 u}{\partial x^2}+\dfrac{\partial^2 u}{\partial y^2}=0,\quad \dfrac{\partial^2 v}{\partial x^2}+\dfrac{\partial^2 v}{\partial y^2}=0.
	\end{align*}
\end{corollary}

\begin{corollary}
	若$f(x+\mathrm iy)=u(x,y)+\mathrm iv(x,y)$在区域$S$上解析, 那么$\nabla u$ 与$\nabla v$正交且等长, 即
	\begin{align*}
		\nabla u\cdot\nabla v=0,\quad |\nabla u|=|\nabla v|.
	\end{align*}
\end{corollary}

\begin{definition}[复级数]
	形如\begin{align*}
		f(z)=\sum_{n\geqslant 0}a_nz^n=\sum_{n\geqslant 0}a_nr^n\exp(\mathrm in\theta).
	\end{align*}
	其中$z$是复变量, $a_n$是复数.
\end{definition}

\begin{theorem}[收敛半径]
	收敛半径$R$有如下计算公式\footnote{这里$|\cdot|$是求模运算.}
	\begin{align*}
		\dfrac{1}{R}=\lim_{n\to \infty}|a_n|^{1/n}=\lim_{n\to\infty}\dfrac{|a_{n+1}|}{|a_n|}
	\end{align*}
\end{theorem}

\begin{definition}
	有如下常用级数
	\begin{align*}
		\exp z=\sum_{n\geqslant 0}\dfrac{z^n}{n!}
	\end{align*}
\end{definition}

\begin{theorem}
	$\exp\colon (\mathbb C,+)\to (\mathbb C,\times)$是群同态.
	\begin{align*}
		\exp(z_1+z_2)=\exp(z_1)\exp(z_2).
	\end{align*}
\end{theorem}

\begin{definition}
	\begin{align*}
		a^z=\exp(z\ln a),\quad a\in \mathbb R, z\in \mathbb C.
	\end{align*}
\end{definition}

\begin{theorem}
	\begin{align*}
		\exp(\mathrm iy)=\cos y+\mathrm i\sin y.
	\end{align*}
\end{theorem}

\begin{corollary}
\begin{align*}
	\exp z=(\exp x)(\cos y+\mathrm i\sin y).
\end{align*}
\end{corollary}

\begin{definition}
\begin{align*}
	\cos z=\dfrac{\exp(\mathrm iz)+\exp(-\mathrm iz)}{2},\quad \sin z=\dfrac{\exp(\mathrm iz)-\exp(-\mathrm i z)}{2\mathrm i}.
\end{align*}
\end{definition}

\begin{definition}
	俯角主值$\operatorname{Arg} z=\theta\in(-\pi,\pi],\quad z=r\exp(\mathrm i\theta)$.
\end{definition}

\begin{definition}
	对于多值方程$\exp w =z$ 有如下解
	\begin{align*}
		w=\operatorname{Ln}z=\operatorname{Ln}(r\exp[\mathrm i(\theta+2k\pi)])=\ln r+\mathrm i(\theta+2k\pi),\quad k\in\mathbb Z.
	\end{align*}
\end{definition}

\begin{definition}
	\begin{align*}
		\ln z=\ln r+i\theta,\quad -\pi<\theta\leqslant\pi.
	\end{align*}
\end{definition}

\begin{definition}
\begin{align*}
	t^z=\exp(z\operatorname{Ln}t),\quad t,z\in\mathbb C.
\end{align*}
\end{definition}

\begin{theorem}
	$t\in \mathbb C$有$n$个$n$次方根.
	\begin{align*}
		t^{1/n}=\exp\left(\dfrac{1}{n}\operatorname{Ln}t\right)=r^{1/n}\exp\left[\mathrm i\dfrac{(\theta+2k \pi)}{n}\right],\quad k=0,\cdots,n-1.
	\end{align*}
\end{theorem}

\begin{definition}[支点,割线]
	如果当$z$沿着$z_0$的充分小领域中的任何简单闭曲线绕一圈时, 多值函数的值就从一支编导另一支, 那么称$z_0$为多值函数的一个支点. 割线将多值函数定于域割为单值的.
\end{definition}

\begin{definition}[奇点]
	$f$在全平面上不解析的点称为奇点(singularity).
\end{definition}

\begin{proposition}
	奇点\footnote{无穷远处的奇点往往通过替换$\xi=1/z\to 0$来分析.}常常分为孤立与非孤立\footnote{在该点的任意去心领域内都存在其他奇点.}. 支点, 可去奇点\footnote{补充极限即可, 一般是孤立的.}, 极点\footnote{Laurent展开有有限负次项.}, 本性奇点\footnote{Laurent 展开做不到有限负次项.}均是奇点.
\end{proposition}

\begin{definition}[分式线性变换]
	形如$w=T(z)=\dfrac{az+b}{cz+d}$的变换.\footnote{在分式线性映射中, 往往要求边界映为边界, 内部映为内部.}
\end{definition}

\begin{theorem}
	分式线性变换可以由三点(及其对应像点)唯一确定.
\end{theorem}

\begin{theorem}
\begin{align*}
	w^\prime=T^\prime(z)=\dfrac{ad-bc}{(cz+d)^2}
\end{align*}
\end{theorem}

\begin{definition}[共形映照]
	\begin{align*}
		w=g(z)=r(x,y)+\mathrm is(x,y).
	\end{align*}
\end{definition}

\begin{theorem}
	共形映照保连续, 保夹角, 放大率与方向无关, 保解析.
\end{theorem}

\begin{theorem}
	若$z_0$在$\operatorname{Im}z>0$上一点, 那么共形映照
	\begin{align*}
		w=(\exp \mathrm i\phi)\dfrac{z-z_0}{z-\bar{z_0}}.
	\end{align*}
	将上半平面映为单位圆盘.
\end{theorem}

\begin{definition}[复积分]
	复积分可由下述实积分定义.
	\begin{align*}
		\int _Cf(z)\mathrm dz=&\int _Cu \mathrm dx-\int _C v\mathrm dy+\mathrm i\int _C u\mathrm dy+\mathrm i\int _C v\mathrm dx\\
		=&\int_\alpha^\beta u\dfrac{\mathrm dx}{\mathrm dt}\mathrm dt-\int_\alpha^\beta v\dfrac{\mathrm dy}{\mathrm dt}\mathrm dt+\mathrm i\int_\alpha^\beta u\dfrac{\mathrm dy}{\mathrm dt}\mathrm dt+\mathrm i\int_\alpha^\beta v\dfrac{\mathrm dx}{\mathrm dt}\mathrm dt.
	\end{align*}
\end{definition}

\begin{theorem}
	若在曲线$C$上$|f(z)|\leqslant M$, $L$为曲线$C$的长度, 那么
	\begin{align*}
		\left|\int_Cf(z)\mathrm dz \right|\leqslant ML.
	\end{align*}
\end{theorem}

\begin{theorem}[Cauchy]
	若$f(z)$是解析函数, 且$f^\prime(z)$在闭曲线$C$内及$C$上每点连续, 则
	\begin{align*}
		\oint_Cf(z)\mathrm dz=0.
	\end{align*}
\end{theorem}

\begin{corollary}
	设$C$和$\gamma$是复数平面中的两条闭曲线, $\gamma$充分小且完全包含在$C$内. 若函数$f(z)$在两曲线间的区域内解析, 则可以更换复积分的路径. 
	\begin{align*}
		\oint_C f(z)\mathrm dz=\oint_\gamma f(z)\mathrm dz.
	\end{align*}
\end{corollary}

\begin{theorem}[最大模原理]
	$f$是域$D$中的非常数的全纯函数, 那么$|f(z)|$不可能在$D$中取到最大值.
\end{theorem}

\begin{theorem}[Cauchy 积分公式]
	若$f(z)$在闭曲线$C$内及$C$上解析, $z_0$是$C$内一点, 则
	\begin{align*}
		f(z_0)=\dfrac{1}{2\pi\mathrm i}\oint_C\dfrac{f(z)}{z-z_0}\mathrm dz.
	\end{align*}
\end{theorem}

\begin{corollary}
	\begin{align*}
		f^{(n)}(z_0)=\dfrac{n!}{2\pi\mathrm i}\oint_C\dfrac{f(z)\mathrm dz}{(z-z_0)^{n+1}}
	\end{align*}
\end{corollary}

\begin{corollary}
	设$f(z)$在以$z_0$为中心, 半径为$R$的圆$C$内及$C$上解析. 若在圆周上$|f(z)| \le M$, 其中$M$为常数, 则有关于高阶导数的模长的估计公式:
	\begin{align*}
		|f^{(n)}(z_0)|\leqslant\dfrac{M\cdot n!}{R^n}.
	\end{align*}
\end{corollary}

\begin{theorem}[Taylor级数]
	设函数$f(z)$在以$z_0$为中心、半径为$R$的圆$C$内及$C$上解析，则 $f(z)$ 可以在 $C$ 内展开成泰勒级数
	\begin{align*}
		f(z) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n(z-z_0)^n,\quad a_n=\dfrac{f^{(n)}(z_0)}{n!}.
	\end{align*}
\end{theorem}

\begin{theorem}[恒等定理]
	若函数$f(z)$和$g(z)$在区域$R$内解析, 且在$R$的某个子区域$S$内满足$f(z) = g(z)$, 则$f(z) = g(z)$在整个区域$R$上成立. 
\end{theorem}

\begin{theorem}[Laurent级数]
	若函数$f(z)$在以$z_0$为中心的两个同心圆$C_1$和$C_2$之间的环形区域$R$内解析,且$z$为$R$内任意一点,则 $f(z)$ 可以在环形区域$R$内展开成洛朗级数.
	\begin{align*}
		f(z) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} a_n(z-z_0)^n,\quad a_n = \dfrac{1}{2\pi\mathrm i} \oint \dfrac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}}\mathrm dz.
	\end{align*}
\end{theorem}

\begin{definition}[残数]
	残数\footnote{又称留数(residue).}指Laurent展开中的系数$a_{-1}$.
\end{definition}

\begin{theorem}
	一般函数$f$在$m$阶极点$z_0$处的留数为:
	\begin{align*}
	\operatorname{Res}(f,z_0)=a_{-1}=\left.\lim_{z\to z_0}\left\{\dfrac{\mathrm d^{m-1}}{\mathrm dz^{m-1}}\left[(z-z_0)^mf(z)\right]\right\}\right/(m-1)!
\end{align*}
\end{theorem}

\begin{theorem}
	如果$f=\dfrac{g}{h}$, $g$和$h$在$z_0$处全纯, 且$g(z_0)\neq 0$, $h(z_0)=0$, $h^\prime(z_0)\neq 0$. 则
	\begin{align*}
		\operatorname{Res}(f,z_0)=\dfrac{g(z_0)}{h^\prime(z_0)}.
	\end{align*}
\end{theorem}

\begin{theorem}[残数定理]
	设$D$是复平面上的一个有界区域, 它的边界$\gamma$由一条或若干条简单闭曲线组成. 如果$f$在$D$中除去孤立奇点$z_1,\cdots,z_n$外是全纯的, 在闭域$\bar D$上去除$z_1,\cdots,z_n$外是连续的, 那么
	\begin{align*}
		\int_\gamma f(z)\mathrm dz=2\pi \mathrm i\sum_{k=1}^n\operatorname{Res}(f,z_k).
	\end{align*}
\end{theorem}

\begin{proposition}
	对于形如$\displaystyle\int_0^{2\pi}F(\cos\theta,\sin\theta)\mathrm d\theta$, 一般做如下处理.
	\begin{align*}
		\begin{cases}
			\sin \theta=-\dfrac{1}{2}\mathrm i (z-z^{-1})\\
			\cos \theta=\dfrac{1}{2}(z+z^{-1})\\
			\mathrm d\theta=-\mathrm iz^{-1}\mathrm dz\\
			C:z=\exp \mathrm i\theta
		\end{cases}
	\end{align*}
\end{proposition}

\begin{proposition}
	设$f$在上半平面$\{z\colon \operatorname{Im}z>0\}$中除去$a_1,\cdots,a_n$外是全纯的, 在$\{z\colon \operatorname{Im}z\geqslant 0\}$中除去$a_1,\cdots,a_n$外是连续的. 如果$\lim\limits_{z\to\infty}zf(z)=0$, 那么
	\begin{align*}
		\int_{-\infty}^\infty f(x)\mathrm dx=2\pi\mathrm i\sum_{k=1}^n\operatorname{Res}(f,a_k).
	\end{align*}
\end{proposition}

\begin{theorem}
	设$f$在上半平面$\{z\colon \operatorname{Im}z>0\}$中除去$a_1,\cdots,a_n$外是全纯的, 在$\{z\colon \operatorname{Im}z\geqslant 0\}$中除去$a_1,\cdots,a_n$外是连续的. 如果$\lim\limits_{z\to\infty}f(z)=0$, 那么对任意$\alpha >0$,有
	\begin{align*}
		\int_{-\infty}^\infty\mathrm e^{\mathrm i\alpha x}f(x)\mathrm dx=2\pi\mathrm i\sum_{k=1}^n\operatorname{Res}(\mathrm e^{\mathrm i\alpha z}f(z),a_k).
	\end{align*}
\end{theorem}

\newpage

\begin{thebibliography}{99}
教材.
\end{thebibliography}

\newpage

\begin{appendices}
    \renewcommand{\thesection}{\Alph{section}}
    \section{作业与练习}
		附作业与综合练习(测验1与作业7(第八周,练习2)).
\end{appendices}

\end{document}